PROBLEMAS CON CONJUNTOS

Problemas Resueltos de Diagramas de Venn con 3 Conjuntos
Problema 1
A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos.
La encuesta arrojó los siguientes resultados:
▪ A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87 les gustaban los videojuegos.
▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba mas de un juguete: 26 juegan con el balón y  carritos; 37 juegan con carritos y videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos; por ultimo 7  expresaron su gusto por los tres.
a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta?
b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos?
c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón?Problema 2
La secretaría de educación municipal requiere la provisión de 29 cargos docentes en las siguientes áreas:  13 profesores en matemáticas, 13 profesores en física y 15 en sistemas. Para el cubrimiento de los cargos  se requiere que: 6 dicten matemáticas y física, 4 dicten física y sistemas y 5 profesores dicten  matemáticas y sistemas.
Determinar:
a) ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las 3 áreas?
b) ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c) ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?Problema 3
Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son:
    ▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
    ▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
    ▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
    ▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
    ▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
    ▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
    ▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.Problema 4
En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67% beben A o B,  y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75% beben A o C y 15% beben  ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida.
1. Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida.
2. Determine el porcentaje que beben las tres bebidas

Problema 5

Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática, Física y  Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados:  Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y Química 217, Física y  Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en:

a) Los tres cursos
b) Matemática pero no Química
c) Física pero no matemática
d) Química pero no Física
e) Matemática o Química, pero no Física
f) Matemática y Química, pero no Física
g) Matemática pero no Física ni Química
Problema 6
Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres detergentes -Albino, Blancura y Claridad-  reveló los siguientes datos:
▪ 126 personas consumían Claridad.
▪ 124 personas no consumían Albino.
▪ 36 usuarios de detergente no consumían ni Albino ni Blancura.
▪ 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.
▪ 60 personas consumían Albino y Claridad.
▪ 40 personas consumían los tres productos.
▪ 56 personas no consumían Blancura.
A) ¿Cuántas personas consumían solamente Blancura?
B) ¿Cuántas personas consumían Albino y Blancura?
C) ¿Cuántas personas consumían solamente Albino?Más ejemplos de Diagramas de Venn de tres conjuntos.
Ejemplo 1
De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.

Ejemplo 2

De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en lafábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40 laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente?

Ejemplo 3

De un grupo de 80 personas:
- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B.
- 26 leían la revista B, pero no C.
- 19 leían C pero no A.
- 2 las tres revistas mencionadas.
¿Cuántos preferían otras revistas?

Ejemplo 4
En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3.
a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas?
b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

OPERACIONES CON CONJUNTOS - REUNIÓN, INTERSECCIÓN, DIFERENCIA Y COMPLEME...

ILUSTRACIÓN DE TIPOS DE GRAFICOS

     

Gráficos de columnas

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de columnas. Este tipo de gráfico es útil para mostrar cambios de datos en un período de tiempo o para ilustrar comparaciones entre elementos.
En los gráficos de columnas, las categorías normalmente se organizan en el eje horizontal y los valores en el eje vertical.

Los gráficos de columnas tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Columnas agrupadas y columnas agrupadas en 3D    Los gráficos de columnas agrupadas comparan valores entre categorías. Un gráfico de columnas agrupadas muestra valores en rectángulos verticales en 2D. Un gráfico de columnas agrupadas en 3D simplemente muestra los datos con perspectiva 3D; no se usa un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Puede utilizar un tipo de gráfico de columna agrupada cuando tiene categorías que representan:

• Rangos de valores (por ejemplo, recuentos de elementos).
• Disposiciones de escala específicas (por ejemplo, una escala de Likert con entradas, como totalmente de acuerdo, de acuerdo, neutral, en desacuerdo, totalmente en desacuerdo).
• Nombres que no se encuentran en ningún orden específico (por ejemplo, nombres de artículos, nombres geográficos o los nombres de personas).

 Nota   Para presentar datos en un formato 3D con tres ejes (un eje horizontal, uno vertical y uno de profundidad) que se puedan modificar, use en cambio el subtipo de gráfico de columnas 3D.

• Columnas apiladas y columnas apiladas en 3-D    Los gráficos de columnas apiladas muestran la relación de elementos individuales con el conjunto, comparando la contribución de cada valor con un total entre categorías. Un gráfico de columnas apiladas muestra los valores en rectángulos apilados verticales en 2D. Un gráfico de columnas apiladas en 3D simplemente muestra los datos con perspectiva 3D; no se usa un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Gráficos de líneas

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de líneas. Los gráficos de línea pueden mostrar datos continuos en el tiempo, establecidos frente a una escala común y, por tanto, son ideales para mostrar tendencias en datos a intervalos iguales. En un gráfico de líneas, los datos de categoría se distribuyen uniformemente en el eje horizontal y todos los datos de valor se distribuyen uniformemente en el eje vertical.

Use un gráfico de líneas si las etiquetas de categorías son texto, y representan valores que están separados uniformemente entre sí, por ejemplo meses, trimestres o ejercicios fiscales. Este tipo de gráfico es válido especialmente si hay más de una serie. Si sólo hay una, se recomienda utilizar un gráfico de categorías. Utilice también un gráfico de líneas si tiene etiquetas numéricas con valores separados uniformemente entre sí, especialmente años. Si tiene más de diez etiquetas numéricas, utilice en su lugar un gráfico de dispersión.
Los gráficos de líneas tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Línea y línea con marcadores    Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas son útiles para mostrar tendencias en el tiempo o categorías ordenadas, especialmente cuando hay muchos puntos de datos y el orden en que se presentan es importante. Si hay muchas categorías o los valores son aproximados, utilice un gráfico de líneas sin marcadores.

• Línea apilada y línea apilada con marcadores    Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas apiladas permiten mostrar la tendencia de la contribución que hace cada valor a lo largo del tiempo o categorías ordenadas; pero como no es fácil ver que las líneas están apiladas, tal vez convenga usar otro tipo de gráfico de líneas o un gráfico de áreas apiladas.

• Línea 100% apilada y línea 100% apilada con marcadores    Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas 100% apiladas son útiles para mostrar la tendencia del porcentaje con que cada valor contribuye en el tiempo o categorías ordenadas. Si hay muchas categorías o los valores son aproximados, use un gráfico de líneas 100% apiladas sin marcadores.

 Sugerencia   Para obtener una mejor presentación de este tipo de datos, puede utilizar en su lugar un gráfico de áreas 100% apiladas.

• Líneas 3D    Los gráficos de líneas 3D muestran cada fila o columna de datos como una cinta de opciones 3D. Un gráfico de líneas 3D tiene ejes horizontal, vertical y de profundidad que puede modificar.

        

Gráficos circulares

En un gráfico circular se pueden representar datos contenidos en una columna o una fila de una hoja de cálculo. Los gráficos circulares muestran el tamaño de los elementos de una serie de datos, en proporción a la suma de los elementos. Los puntos de datos de un gráfico circular se muestran como porcentajes del total del gráfico circular.

Piense en utilizar un gráfico circular cuando:

• Sólo tenga una serie de datos que desee trazar.
• Ninguno de los valores que desea trazar son negativos.
• Casi ninguno de los valores que desea trazar son valores cero.
• No tiene más de siete categorías.
• Las categorías representan partes de todo el gráfico circular.

Los gráficos circulares tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Circular y circular en 3D    Los gráficos circulares muestran la contribución de cada valor a un total con un formato 2D o 3D. Puede extraer manualmente sectores de un gráfico circular para destacarlos.

• Circular con subgráfico circular y circular con subgráfico de barras    Los gráficos circulares con subgráfico circular o subgráfico de barras son gráficos circulares con valores definidos por el usuario que se extraen del gráfico circular principal y se combinan en un gráfico secundario, circular o de barras apiladas. Estos tipos de gráficos son útiles cuando desea que los sectores pequeños del gráfico circular principal se distingan más fácilmente.

• Circular seccionado y circular seccionado en 3D    Los gráficos circulares seccionados muestran la contribución de cada valor a un total, al mismo tiempo que destacan valores individuales. Los gráficos circulares seccionados se pueden mostrar en formato 3D. Puede cambiar la configuración de la división en secciones para cada sector por separado y para todos ellos, pero no puede mover manualmente los sectores de un gráfico circular seccionado. Si desea extraer los sectores manualmente, utilice un gráfico circular o un gráfico circular 3D.

Gráficos de barras

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de barras. Los gráficos de barras muestran comparaciones entre elementos individuales.

Piense en utilizar un gráfico de barras cuando:

• Las etiquetas de eje son largas.
• Los valores que se muestran son duraciones.

Los gráficos de barras tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Barra agrupada y barra agrupada en 3D    Los gráficos de barras agrupadas comparan valores entre categorías. En un gráfico de barras agrupadas, las categorías se suelen organizar a lo largo del eje vertical, mientras que los valores lo hacen a lo largo del horizontal. Un gráfico de barras agrupadas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Barra apilada y barra apilada en 3D    Los gráficos de barras apiladas muestran la relación de elementos individuales con el conjunto. Un gráfico de barras apiladas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Barras 100% apiladas y barras 100% apiladas en 3D    Este tipo de gráfico compara el porcentaje con que cada valor contribuye a un total entre categorías. Un gráfico de barras 100% apiladas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Cilindro, cono y pirámide horizontales    Estos gráficos están disponibles en los mismos tipos de gráficos agrupados, apilados y 100% apilados que se proporcionan para los gráficos de barras rectangulares. Muestran y comparan los datos de la misma forma. La única diferencia es que estos tipos de gráfico muestran formas cilíndricas, cónicas y piramidales en lugar de rectángulos horizontales.

Se utiliza para representar los caracteres cualitativos y cuantitativos discretos. En el eje horizontal, o eje de abcisas, se representan los datos o modalidades; en el eje vertical o de ordenadas, se representan las frecuencias de cada dato o modalidad.
Sobre el eje horizontal se levantan barras o rectángulos de igual base (que no se superpongan) cuya altura debe ser proporcional a la frecuencia que representan.
Grafiquemos el ejemplo anterior de los deportes preferidos, usando la actividad SocialCalc:

Rápidamente podemos ver que el fútbol es el deporte preferido, por la longitud de la barra.
La actividad SocialCalc nos realiza este tipo de gráficos, aunque sólo en color gris. Podemos realizar una captura de pantalla (con las teclas "alt" y "1"), luego desde el diario retomar la imagen con la actividad Pintar y colorear las barras.
Las barras también pueden ser horizontales:

1. Todas las barras deben ser del mismo ancho para no confundir al lector.
2. Los espacios entre barras deben ser igual a la mitad del ancho de las barras.
3. Se deben incluir las escalas y algunas indicaciones para que ayuden a la lectura de las gráficas.
4. Los ejes de las gráficas se deben identificar en forma clara.
5. Se deben incluir dentro del cuerpo de la gráfica, o debajo, todo tipo de "claves" para la interpretación de las gráficas.
6. El título de la gráfica debe aparecer debajo del cuerpo.
7. Las notas de pie de página, o sobre fuentes, cuando sean necesarias, se deben colocar después del título. 

Histograma

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
Ejemplo:

 
 
 
 
 
Marca de clase o valor medio
Se determina calculando el promedio entre los límites inferior y superior. La marca de clase representa a todos los datos pertenecientes al intervalo de clase correspondiente.
 
 
 
 
 

    Pregunta de Elección Múltiple

Toma en cuenta el siguiente histograma y responde:
¿En cuántas clases se han agrupado los datos?

  

	7
	158
	4

¿Cuántos alumnos de primer año hay en esta población?

  

	160
	70
	158

¿Cuál es la clase de datos que tiene menor frecuencia?

  

	Azul
	Roja
	Negra
	Verde

¿En qué clase se concentra el mayor número de alumnos?

  

	Azul
	Roja
	Negra
	Verde

Por lo tanto, se puede considerar que la mayor parte de dicha población tiene una estatura regular entre:

  

	146 y 150 cm
	151 y 155 cm
	141 y 145 cm
	156 y 160 cm

Polígono de frecuencias

Es un gráfico lineal que se utiliza en el caso de una vatiable cuantitativa. Para realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.

 
 
 
 
 
 
 

     

Diagrama de sectores

También conocido como gráfico de torta o gráfico circular.
Se representan los datos en un círculo, de modo que la frecuencia de cada valor viene dada por un trozo de área del círculo. Así, el círculo queda dividido en sectores cuya amplitud es proporcional a las frecuencias de los valores. Sirve para representar cualquier tipo de variable. EJEMPLO:
En la clase se realizó la siguiente encuesta: ¿Qué libros prefieres leer?
Los resultados se ordenaron en esta tabla

Tipos de libros	De Misterio	De Aventuras	Historietas	Total
N° de alumnos	15	9	6	30

Si queremos representar esta información en un gráfico de torta tenemos que realizar unos cálculos previamente.
Como la medida de la superficie de cada sector es directamente proporcional a la medida del ángulo central, se hace una proporcionalidad directa entre la cantidad de alumnos que hay en el sector con respecto al total de alumnos y el ángulo del sector (la incógnita) con respecto al ángulo central de todo el círculo, o sea 360°.
Para el sector de libros de misterio tenemos:
30 alumnos ---------------360° (todo el círculo)
15 alumnos --------------- incógnita (sector del círculo correspondiente a libros de misterio)
Ángulo sector Misterio = 360° X 15 alumnos / 30 alumnos = 180° (la mitad del círculo)
Ángulo sector Aventuras = 360° X 9 alumnos / 30 alumnos = 108°
Ángulo sector Historietas = 360° X 6 alumnos / 30 alumnos = 72°
Si sumamos la amplitud de los tres sectores nos tiene que dar el círculo completo:
180° + 108° + 72° = 360°

Pictograma

Es un gráfico con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia se suele indicar. EJEMPLO:

¿En qué mes se plantaron menos árboles?, ¿y en cuál se hicieron más plantaciones?

«

Pirámide de población

Dependiendo de la información que estemos estudiando, se pueden utilizar otros tipos de gráficos.
Uno de ellos es por ejemplo, la pirámide de población. Sirve para analizar cómo va evolucionando (con respecto a su edad) una población determinada.
Consiste en dos diagramas de barras, uno de ellos para representar los datos de los hombres y el otro para los de las mujeres, pero dispuestos de forma horizontal y por edades. 

   

Climograma

Un caso particular de aplicación de los histogramas y los polígonos de frecuencias es el climograma, que representa la marcha anual de las temperaturas y de las lluvias medias, sobre un mismo sistema de coordenadas: 

        

Cartograma

Los cartogramas son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen indicados sobre las distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el carácter que representan.
En el siguiente cartograma observamos la urbanización en el mundo atendiendo a la industrialización:

            

¿Qué es la estadística?

La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.
 
En la antigüedad los egipcios hacían censos de las personas y de los bienes inmuebles que permitían conocer la distribución de las propiedades para volver a restituirlos después de la inundación anual que provoca el río Nilo. En la biblia hay referencias a censos del pueblo judío. Los griegos y los romanos hacían censos de personas y de propiedades.
Un economista y profesor universitario llamado Gottfried Achenwall (prusiano, 1719-1772) fue quien forjó la palabra "estadística" con el significado de "ciencia de las cosas que pertenecen al Estado". Achenwall dijo que "la política enseña cómo deben ser los Estados, la Estadística explica cómo son realmente".
Dentro del campo de la estadística pueden estudiarse características de la sociedad, de las personas, de los animales, de las plantas, de determinados productos o de cualquier objeto de interés humano en general, bien lejos del concepto de las "cosas que pertenecen al Estado".

   

Variables estadísticas

Al hacer un estudio de una determinada población, observamos una característica o propiedad de sus elementos o individuos. Por ejemplo, con los alumnos y alumnas de nuestra clase, podemos estudiar el lugar donde viven, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características estudiadas se llama variable estadística. Si tenemos en cuenta las preguntas planteadas en la introducción:

• Primera variable: ¿En qué vienen a la escuela?
• Segunda variable: ¿Cuántas personas viven en su casa?

El resultado de la primer variable puede ser: caminando, ómnibus, auto, moto, bicicleta, otros. Este tipo de variable se llama cualitativa.
El resultado de la segunda variable puede ser: 2, 3, 4, 5, .... Este tipo de variable se llama cuantitativa.
Una variable se llama cuantitativa cuando toma valores numéricos y cualitativa, cuando toma valores no numéricos.

Tipos de variables

Indica si cada una de las siguientes variables estadísticas es cuantitativa o cualitativa: 1) Deporte preferido

  

	Cuantitativa
	Cualitativa

2) Número de calzado

  

	Cuantitativa
	Cualitativa

3) Estatura

  

	Cuantitativa
	Cualitativa

4) Estudios que desea realizar

  

	Cuantitativa
	Cualitativa

5) Puntaje en la última prueba

  

	Cuantitativa
	Cualitativa

Población y muestra

Una vez definidas las variables a estudiar tenemos que establecer cuál será la población a investigar. En algunos casos se trabaja con toda una población que es el conjunto formado por todos los elementos a estudiar, el cual puede llamarse conjunto completo. Otras veces no es posible trabajar con toda la población. Supongamos que debemos estudiar la altura de los niños que cumplen 10 años en el presente año. Nos damos cuenta que no podemos hacerlo con todos los cientos de miles de niños que cumplen 10 años en el país, lo que sería toda la población o conjunto completo. Podemos hacerlo con un grupo que sea manejable. O sea que vamos a usar una muestra. Queremos que esa muestra sea una buena representación de todo el conjunto. No podemos quedarnos con los más altos, porque en ese caso estaríamos deformando los resultados. Tampoco con los más bajos, ni siquiera con los que están en el medio. Tienen que estar todos mezclados.
Podemos ver que hacer un muestreo tiene varias dificultades. Hay que buscar una muestra que no le de preferencia a ninguna de las cualidades a estudiar. Tiene que ser lo más heterogénea posible, pensando siempre que sea una representación en pequeño de toda la población.
Por lo tanto un muestreo consiste justamente en tomar una parte de un conjunto, estudiar una de sus características y tratar de analizar si con cuidado podemos extender los resultados y conclusiones a todo el conjunto, a toda la población estudiada.

POBLACIÓN O CONJUNTO COMPLETO: Conjunto formado por todos los elementos a estudiar.

MUESTRA: Parte de una población que se considera representativa de la misma. MUESTREO: Acción de escoger muestras representativas.

Tabla de frecuencias

Cuando se han recogido los datos correspondientes a una variable estadística, hay que tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente:

• Los valores de la variable que se está estudiando.
• El número de individuos de cada valor; es decir, su frecuencia.

La frecuencia absoluta es el número de veces que se presenta un valor al estudiar una variable.
Para hacer el recuento, se leen los datos uno a uno y se marca una señal en el correspondiente valor. Si las señales se agrupan, de cinco en cinco por ejemplo, es más fácil contarlas.
EJEMPLO: Variable - ¿Cuántas personas viven en tu casa?
La tabla de frecuencia adopta, finalmente, el siguiente aspecto:

VALORES	FRECUENCIA
2	2
3	4
4	8
5	12
6	3
7	1
	30

Cada valor tiene emparejada su frecuencia. Por ejemplo, solamente en la casa de un alumno viven 7 personas. Son 30 alumnos en total, ¿puedes leerlo en la tabla?